PROBLEMAS DE PROPORCIONES

1-    En la construcción de una carretera han trabajado 752 obreros durante 570 días. Si la obra hubiera tenido que finalizar en 470 días. ¿Cuántos obreros más se habrían necesitado?

2-   Si 4 grifos tardan 24 horas en llenar cierto depósito. ¿Cuánto tardarán en llenarlo 12 grifos como los anteriores?

3-   Por la compra de 200 macetas de plástico un jardinero paga 48 €.¿Cuánto dinero hubiera tenido que desembolsar por 325 macetas?

4-   Sabemos que para llenar 5 depósitos de agua que abastecen a una población se necesitan 4 bombas funcionando durante 10 horas. Si queremos llenar 14 depósitos. ¿Durante cuánto tiempo deberán estar funcionando 8 bombas?

5-   4 grifos llenan en 12 horas 2 depósitos de agua de 60 cm³ de capacidad cada uno. ¿Cuánto tiempo tardarán 6 grifos en llenar 3 depósitos de 80 cm³ cada uno?

6-   Seis motores consumen 3000 litros de combustible durante 12 minutos de trabajo. ¿Cuántos litros de combustible necesitarán 20 motores para trabajar 1 hora?

7-   Para pavimentar una calle de 600 m de largo y 24 m de ancho se han utilizado 36000 adoquines. ¿Cuántos adoquines se necesitarían para otra calle de 500 m de largo y 30 m de ancho?

8-   Queremos construir una piscina en 60 días, para lo cual han de trabajar 20 obreros. ¿Cuántos serían necesarios para hacerla en solo 40 días?

9-   En una granja avícola hay 5600 gallinas que ponen 11200 huevos en 12 horas de luz. Si se sacrifican 2800 gallinas, ¿Cuántos huevos habrán puesto durante tres horas, el resto de las gallinas?

10- Cada 24 días los 40 alumnos de un comedor escolar consumieron 192 barras de pan. ¿Cuántas barras de pan habrá que comprar para alimentar a 65 alumnos durante 80 días?

11-  ¿Cuántas personas habrá que contratar para recolectar 50 Tn de alcachofas, trabajando 8 horas diarias durante 10 días, si para recolectar 120 Tn se han necesitado 20 personas trabajando  6 horas diarias durante 16 días?

12- ¿Qué beneficio entregará un banco a un cliente que depositó en él 45000 € durante 3 años, si anualmente y por cada 100 € depositados el banco  concede un beneficio de 7 €?

PRODUCTOS NOTABLES

Resuelve los siguientes productos notables:

1)      (x + 2)² =

2)      (x + 2)(x + 3) =

3)      (x + 1)(x – 1) =

4)      (x – 1)² =

5)      (n + 3)(n + 5) =

6)      (m – 3)(m + 3) =

7)      (a + b – 1)(a + b + 1) =

8)      (1 + b)³ =

9)      (a² + 4)(a² – 4) =

10)   (3ab – 5x²)² =

11)   (ab + 3)(3 – ab) =

12)   (1 – 4ax)² =

13)   (a² + 8)(a² – 7) =

14)   (x + y + 1)(x – y – 1) =

15)   (1 – a)(a + 1) =

16)   (m – 8)(m + 12) =

17)   (x² – 1)(x² + 3) =

18)   (x³ + 6)(x³ – 8) =

19)   (5x³ + 6m⁴)² =

20)   (x⁴ – 2)(x⁴ + 5) =

Respuestas:

1) x² + 4x + 4     2) x² + 5x + 6     3) x² – 1     4) x² – 2x + 1     5) n² + 8n + 15

6) m² – 9     7) a² + 2ab + b² – 1     8) 1 + 3b + 3b² + b³     9) a⁴ – 16

10) 9a²b² – 30abx + 25x⁴     11) 9 – a²b²     12) 1 – 8ax + 16a²x²      13) a⁴ + a² – 56

14) x² – y² – 2y – 1     15) 1 – a²      16) m² + 4m – 96     17) x⁴ + 2x² – 3

18) x⁶ – 2x³ – 48      19) 25x⁶ + 60x³m⁴ + 36m⁸      20) x⁸ + 3x⁴ – 10

PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE UN BINOMIO

1. (x + 3)² =
2. (5 + a)² =
3. (6x + y)² =
4. (9 + 4x)² =
5. (7x + 11)² =
6. (a + b)² =
7. (1 + 3x²)² =
8. (2x + 3y)² =
9. (a²x + by²)² =
10. (3a³ + 8b⁴)² =
11. (4m⁵ + 5n⁶)² =
12. (7a²b³ + 5x⁴)² =
13. (4xy² + 5wz³)² =
14. (8x²y + 9m³)² =
15.  (x¹⁰ + 10y¹²)² =
16. (x^m + xⁿ)² =

Respuestas:

1) x² + 6x + 9     2) 25 + 10a + a²     3) 36x² + 12xy + y²     4) 81 + 72x + 16x²

5) 49x² +154x + 121     6) a² + 2ab + b²     7) 1 + 6x² +9x⁴     8) 4x² + 12xy + 9y²

9) a⁴x² + 2a²xby² + b²y⁴     10) 9a⁶ + 48a³b + 64b⁸      11) 16m¹⁰ + 40m⁵n⁶ + 25n¹²

12) 49a⁴b⁶ + 70a²b³x⁴ + 25x⁸     13) 16x²y⁴ + 40xy²wz³ + 25w²z⁶   

14) 63x⁴y² + 144x²ym³ + 81m⁶     15) x²⁰ + 20x¹⁰y¹² + 100y²⁴

16) x^2m + 2x^m+n + x²ⁿ     

SOLUBILIDAD

1)-   Se pidió al alumno Miguel E. que contestara las siguientes cuestiones: ¿Qué es la solubilidad? ¿Qué relación existe entre solubilidad y disolución saturada?

2)-   La alumna Ángela C quiso contribuir con alguna cuestión más: ¿Qué influencia tiene la temperatura en la solubilidad?

3)-.A Rafa J. y Javier L. se les da muy bien resolver este tipo de problemas. La solubilidad del nitrato de potasio es de 25 g en 100 ml de agua a 20ºC. Halla la cantidad de nitrato de potasio que hay que disolver en 40 dl para formar una disolución saturada a esta temperatura

4)-Víctor D. y Alejandro M. han tardado un poco en entender estos problemas, por ello tienen que seguir practicando. La solubilidad del nitrato de potasio es de 25 g en 100 ml de agua a 20 ºC. Halla la cantidad de nitrato potásico que hay que disolver en 5 cl para formar una disolución saturada a esta temperatura

5)- La semana pasada los alumnos de 3º−B trabajaron sobre problemas relacionados con la solubilidad. Miguel G y su amigo Saúl A. estuvieron abstraídos, durante un rato, para resolver uno que decía “La solubilidad de una sustancia enagua frente a la temperatura está dada en la tabla adjunta,

solubilidad	g sust /100ml	18	22	40	60	85	120	160	240
Tª	ºC	10	20	30	40	50	60	70	80

a) Representa estos datos en una gráfica de solubilidad frente a temperatura.

b) Calcula la cantidad de sustancia que precipita por 100 mL, cuando una disolución saturada a 50 ºC se enfría hasta 20 ºC”. Ellos no tardaron mucho en resolverlo, anímate y haz lo propio.

6)- La gráfica de solubilidad del libro representa la solubilidad de tres sustancias conocidas, disueltas en agua, frente a la temperatura.

Robert R. y Daniel D., compañeros de 3ºD, prestan escasa atención a las explicaciones de Física pero, aún así, su profesor quiere que se integren en la dinámica de la clase. Cierto día les propuso que determinaran la solubilidad de dicha sustancia a 60 ºC y a 20 ºC y la cantidad de la misma, por 100 cm3, que precipitaría si se enfriara entre esas dos temperaturas. Trata, como ellos, de resolverlo.

7)-Violeta R. y Fabián N. son realmente buenos en esta asignatura, son capaces de resolver este problema en menos de 5 minutos ¿y tú, eres capaz?:La solubilidad del nitrato de plata, a 18 ºC, es 211,6 g en 100 g de agua

            a)- ¿Cuántos g de nitrato de plata se pueden disolver como máximo en 400 ml de agua a 18 ºC?

            b)- ¿Cuánto nitrato hay que añadir a 1 l de agua para que se sature?

SOLUCIÓN: a)- 846,4 g  b)- 2116 g

8)- La solubilidad del nitrato de potasio, a 30 ºC, es de 40 g en 100 g de agua, ¿Cuánta masa de nitrato quedará sin disolver en un vaso con 300 ml de agua si añadimos, agitando, 170 g de nitrato a 30 ºC?

SOLUCIÓN: 50 g

9)- La solubilidad de la sal común, a 10 ºC, es de 35,8 g en 100 g de agua. ¿Cuántos g de sal se pueden disolver como máximo en 80 ml de agua?

SOLUCIÓN: 28,6 g

10)- La solubilidad del bicarbonato de sodio, a 20 ºC, es de 9,6 g en 100 g de agua. ¿Cuánto bicarbonato hay que añadir a 2 l de agua para que se sature?

SOLUCIÓN: 192 g

11)- La solubilidad del azúcar, a 40 ºC, es de 240 g en 100 g de agua, ¿Cuántos g de azúcar se pueden disolver, como máximo en 20 ml de agua?

SOLUCIÓN: 48 g

12)- Nuestro amigo Alfonso V. se cambia de sitio en clase de Física con más frecuencia de la deseable. El pasado Viernes el profesor de esta disciplina le propuso el siguiente ejercicio “Expresa en g/100 cm3 la concentración de una sustancia soluble en agua en los siguientes casos:

 a) en ¾ de litro;

 b) 40 mg en 250 g de agua si la densidad del agua es 1 g/cm3”. Por si acaso él encuentra dificultades, trata de ayudarle.